tema 1.3 potencia de ( i )

DEFINICIÓN DE LA UNIDAD IMAGINARIA ( i ):

{$i = sqrt(−1)$}

POTENCIAS DE i:

{$i^0 = 1,  i^1 = i, i^2 = −1, i^3 = -i, i^{−1} = -i, i^{−2} = −1, i^{−3}=i$}

RAIZ CUADRADA PRINCIPAL DE UN NUMERO REAL NEGATIVO:

Si  a > 0 , entonces:

{$sqrt{-a)= i sqrt(a)$}

REPRESENTACIÓN DE UN NUMERO COMPLEJO:

Cada número complejo se puede representar de la forma  a + bi , donde  a  y  b son números reales.

RELACIÓN DE IGUALDAD EN LOS NÚMEROS COMPLEJOS:

Si a + bi = c + di, entonces  a = c y b = d

ADICIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS:

( a + bi )  +  ( c + di )   =   ( a + c )  +  ( b + d )i
 ( a + bi )  –  ( c + di )   =   ( a – c )  +  ( b – d )i

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS:

( a + bi )( c + di ) = ac + (ad + cb)i + bdi^2, es decir se respetan las reglas algebraicas.
 ( a + bi )( c - di ) = ac + a(-di) + c(bi) + bi(-di) = ac + (cb - ad)i - bdi^2

k( a + bi ) = ka + kbi

INVERSO MULTIPLICATIVO DE UN NUMERO COMPLEJO:

Si  a + bi  <  0 , entonces:

                       a – bi
 ( a + bi ) – 1   =   ––––––––––
                       a^2 + b^2

DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS:

Si  a + bi  ¹  0 , entonces:

 c + di      ( ac + bd )  +  ( ad – bc ) i
 ––––––   =   –––––––––––––––––––––––
 a + bi             a 2  +  b 2

CONJUGADO DE UN NUMERO COMPLEJO:

El  conjugado  de  a + bi  es  a – bi

MODULO DE UN NUMERO COMPLEJO:

$El  módulo  de $} 

FORMA PAR ORDENADO DE UN NUMERO COMPLEJO:

El complejo  a + bi  se puede representar como  ( a , b ) .
 De esta forma:
 ( a , b )  +  ( c , d )   =   ( a  +  c , b  +  d ) 

 ( a , b )  –  ( c , d )   =   ( a  –  c , b  –  d )

 ( a , b )( c , d )   =   ( ac  –  bd , ad  +  bc )

 k ( a , b )   =   ( ka , kb )

 ( a , b ) – 1   =   ( a / ( a 2  +  b 2 ) , – b / ( a 2  +  b 2 ) )

 ( c , d ) / ( a , b )   =   ( ( ac  +  bd ) / ( a 2  +  b 2 ) , ( ad  –  bc ) / ( a 2  +  b 2 ) ) 

FORMA POLAR DE UN NUMERO COMPLEJO:

El complejo  a + bi  se puede representar como  r ( cos ( a )  +  i sen ( a ) )   
 o en su forma abreviada  r c i s ( a ) , donde:
 r   =   Ö ( a 2  +  b 2 )     y     tg ( a )   =   b / a
 a   =   tg – 1 ( b / a )   ,   si  a > 0
 a   =   180º  +  tg – 1 ( b / a )   ,   si  a < 0
 a   =   90º   ,   si   a  =  0     y     b > 0
 a   =   270º   ,   si   a  =  0     y     b < 0    

 Sean  z   =   r ( cos ( a )  +  i sen ( a ) )   y  
 w   =   R ( cos ( b )  +  i sen ( b ) )   , entonces:

 z w   =   r ( cos ( q )  +  i sen ( q ) )  
 donde   r   =   r R     y     q   =   a  +  b 

 z – 1   =   r – 1 ( cos ( a )  –  i sen ( a ) )  ;   r  ¹  0

 z / w   =   r ( cos ( q )  +  i sen ( q ) )  
  donde  r   =   r / R   ( R ¹ 0 )     y     q   =   a  –  b

 z n   =   r n ( cos ( n a )  +  i sen ( n a ) )     ( Teorema de De Moivre )

 z 1 / n   =   r 1 / n ( cos ( q )  +  i sen ( q ) )
  donde  q   =   ( a  +  360º ´ k ) / n   y   k   =   0 , 1 , 2 , 3 ,….., n – 1
                                                                                                                Volver arriba

EJEMPLOS Y EJERCICIOS

Dados   z  =  4  +  2i ,  w  =  3  -  5i   y   v  =  - 2  +  7i  ,  calcula:
  1 )  w  +  v   =   ( 3  -  5i )  +  ( - 2  +  7i )   =   3  -  2  +  ( -  5  +  7 ) i   =   1  +  2i  
  2 )  z  +  w   =
  3 )  w  -  v   =
  4 )  v ´ w   =   ( - 2  +  7i )( 3  -  5i )   =   - 6  +  10i  +  21i  -  35i 2   =
                         - 6  +  31i  +  35   =   29  +  31i 
  5 )  v ´ z   =
  6 )  w 2   =
  7 )  z - 1   =   ( 4  -  2i ) / ( 42  +  22 )   =   ( 4  -  2i ) / 20   =   ( 2  -  i ) / 10
  8 )  v - 1   =
  9 )  z / v   =

10 ) | z | = Ö ( 4 2 + 2 2 ) = Ö 20 = 2 Ö 5 11 ) | w | = 12 ) | v | =

Volver arriba
 Calcula:
  1 )  ( Ö 3  +  i ) 6
 r   =   Ö ( 3 + 1 )   =   2
 a   =   tg – 1 ( 1 / Ö 3 )   =   30º
        ( Ö 3  +  i ) 6   =   2 6 ( cos ( 6 ´ 30º ) )  +  i sen ( 6 ´ 30º )   =   
                                   64 ( cos ( 180º )  +  i sen ( 180º ) )   =   - 64
  2 )  ( 1  +  i ) 5   = 
  3 )  ( 1  -  i ) 5   =
  4 )  Las seis raíces sextas de  64
 r  =  64
 a   =   tg – 1 ( 0 / 64 )   =   0º
 x   =   64 1 / 6 c i s ( ( 0º  +  360º ´ k ) / 6 )    ;  k  =  0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5
 x   =   2 c i s ( 60º ´ k )     ;  k  =  0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5
 x 1   =   2 ( cos ( 0º )  +  i sen ( 0º ) )   =   2
 x 2   =   2 ( cos ( 60º )  +  i sen ( 60º ) )   =   1  +  i Ö 3
 x 3   =   2 ( cos ( 120º )  +  i sen ( 120º ) )   =   - 1  +  i Ö 3
 x 4   =   2 ( cos ( 180º )  +  i sen ( 180º ) )   =   - 2
 x 5   =   2 ( cos ( 240º )  +  i sen ( 240º ) )   =   - 1  -  i  Ö 3
 x 6   =   2 ( cos ( 300º )  +  i sen ( 300º ) )   =   1  -  i Ö 3
  5 )  Las cuatro raíces cuartas de  1
  6 )  Las cuatro raíces cuartas de  i